复合函数求导公式,复合函数经典例题

时间:2023-06-24 10:04:38来源:考试帮手网作者:大白


       复合函数就是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数,而不一定只含有两个函数,有时可能有两个以上。所以计算要相对复杂一点,下面就让我们一起来通过复合函数经典例题来看看复合函数求导公式的怎样的。
       如果设函数y=f(u)的定义域为Du,值域为Mu,函数u=g(x)的定义域为Dx,值域为Mx,如果Mx∩Du≠Ø,那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应,则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系,这种函数称为复合函数(composite function),记为:y=f[g(x)],其中x称为自变量,u为中间变量,y为因变量(即函数)。
例题:
求:函数f(x)=(3x+2)3+3的导数。
解:设u=g(x)=3x+2;
f(u)=u3+3;
f'(u)=3u2=3(3x+2)2;
g'(x)=3;
f'(x)=f'(u)*g'(x)=3(3x+2)2*3=9(3x+2)2;
       通过以上题目我们可以看到复合函数求导的前提是复合函数本身及所含函数都可导。
       一般复合函数求导要满足以下规则:
1:设u=g(x),对f(u)求导得:f'(x)=f'(u)*g'(x);
2:设u=g(x),a=p(u),对f(a)求导得:f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);
       在计算的时候还要注意的是以下几点:
1、若x处于分母位置,则分母x不能为0。
2、偶次方根的被开方数不小于0。
3、对数式的真数必须大于0。
4、指数对数式的底回,不得为1,且必须大于0。
5、指数为0时,底数不得为0。
6、如果函答数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。
7、实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。

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