高中导数运算法则，高中数学导数公式大全

高中数学是大家最难攻克的“痛楚”，有的人把高中数学比喻成天文看不懂，其实学好数学是要讲究方法的，学好数学的第一步必须是记牢数学中的重点公式，比如高中数学中导数的公式就比较多，我们来看看导数运算法则是怎样的呢？
导数是微积分中的重要基础概念。

  设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在 x0 处有增量△x ( x0 + △x 也在该邻域内 ) 时相应地函数取得增量 △y = f(x0 + △x) - f(x0) 如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即导数第一定义。

  设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在 x0 处有变化 △x ( x - x0 也在该邻域内 ) 时相应地函数变化 △y = f(x) - f(x0) 如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即导数第二定义。

  导数公式：

  1.常函数即常数y=c(c为常数) y'=0 【y=0 y'=0导数为本身的函数之一】
  2.幂函数y=x^n,y'=n*x^(n-1)(n∈R) 【1/X的导数为-1/(X^2)】   基本导数公式3指数函数y=a^x,y'=a^x * lna 【y=e^x y'=e^x导数为本身的函数之二】   4对数函数y=logaX,y'=1/(xlna) (a>0且a≠1,x>0)【y=lnx,y'=1/x】
  5.三角函数  
(1)正弦函数y=(sinx y'=cosx  
(2)余弦函数y=cosx y'=-sinx
  (3)正切函数y=(tanx y'=1/(cosx)^2
  (4)余切函数y=cotx y'=-1/(sinx)^2  
6.反三角函数  
(1)反正弦函数y=arcsinx y'=1/√1-x^2  
(2)反余弦函数y=arccosx y'=-1/√1-x^2  
(3)反正切函数y=arctanx y'=1/(1+x^2)
  (4)反余切函数y=arccotx y'=-1/(1+x^2)  
【 5】f[x]×g[x]=f'x]g[x]+f[x]g'x]    
2.y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2
  3.原函数与反函数导数关系由三角函数导数推反三角函数的y=f(x)的反函数是x=g(y则有y'=1/x'   证1.显而易见y=c是一条平行于x轴的直线所以处处的切线都是平行于x的故斜率为0。用导数的定义做也是一样的y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0。  

4.y=a^x,   Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)   Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx  
如果直接令Δx→0是不能导出导函数的必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算。
由设的辅助函数可以知道Δx=loga(1+β)。
  所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β  
显然当Δx→0时β也是趋向于0的。而limβ→0时(1+β)^1/β=e,所以limβ→0时1/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。
  把这个结果代入limΔx→0时Δy/Δx=limΔx→0时a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna。  
可以知道当a=e时有y=e^x y'=e^x。
5.y=logax   Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x  
Δy/Δx=loga[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x  
因为当Δx→0时Δx/x趋向于0而x/Δx趋向于∞所以limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)=logae,所以有   limΔx→0Δy/Δx=logae/x。  
也可以进一步用换底公式   limΔx→0Δy/Δx=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1)   可以知道当a=e时有y=lnx y'=1/x。  
这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,   所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1)。  
Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)  
Δy/Δx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx=cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/(Δx/2)
  所以limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0cos(x+Δx/2)·limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=cosx  
6.类似地可以导出y=cosx y'=-sinx。  
7.y=tanx=sinx/cosx   y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x  
8.y=cotx=cosx/sinx   y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x   9.y=arcsinx   x=siny   x'=cosy   y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
  10.y=arccosx   x=cosy   x'=-siny   y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2  
11.y=arctanx   x=tany   x'=1/cos^2y   y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2  
12.y=arccotx   x=coty   x'=-1/sin^2y   y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2