点到直线的距离公式推导证明方法

  今天小编要给大家介绍的是点到直线的距离相关知识，这部分知识在高中数学中也是非常重要的，高考必考的知识，所以大家需要好好掌握，下面小编给大家详细介绍一下吧！
 
  点到直线距离是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度。它实质是两点之间的距离,表示的是这一点到垂足的距离。数学中的距离,包括两点间的距离,点到直线的距离,两平行线间的距离,都可转化为两点间的距离。  
   公式
   一、总公式： 设直线 L 的方程为Ax+By+C=0，点 P 的坐标为（Xo，Yo），则点 P 到直线 L 的距离为： 
  考虑点(x0,y0,z0)与空间直线x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有d=|(x1-x0,y1-y0,z1-z0)×(l,m,n)|/√(l²+m²+n²)

  二、引申公式：
  公式①：设直线l1的方程为   直线l2的方程为 
  则2条平行线之间的间距：  公式②：设直线l1的方程为   直线l2的方程为 
  则2条直线的夹角   
  证明方法
   一、定义法
  证：根据定义，点P(x₀,y₀)到直线l：Ax+By+C=0的距离是点P到直线l的垂线段的长，
  设点P到直线的垂线为l'，垂足为Q，则l'的斜率为B/A
  则l'的解析式为y-y₀=(B/A)(x-x₀)
  把l和l'联立得l与l'的交点Q的坐标为((B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2), (A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2))
  由两点间距离公式得
  PQ^2=[(B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2
  +[(A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2
  =[(-A^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)]^2
  +[(-ABx₀-B^2y₀-BC)/(A^2+B^2)]^2
  =[A(-By₀-C-Ax₀)/(A^2+B^2)]^2
  +[B(-Ax₀-C-By₀)/(A^2+B^2)]^2
  =A^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2
  +B^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2
  =(A^2+B^2)(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2
  =(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)
  所以PQ=|Ax₀+By₀+C|/√(A^2+B^2)，公式得证。

  二、函数法
  证：点P到直线上任意一点的距离的最小值就是点P到直线的距离。在上取任意点用两点的距离公式有，为了利用条件上式变形一下，配凑系数处理得：
当且仅当时取等号所以最小值就是
  三、不等式法
  证：点P到直线上任意一点Q的距离的最小值就是点P到直线的距离。由柯西不等式： 当且仅当时取等号所以最小值就是  
   四、三角形法 证：P作PM∥轴交于M，过点P作PN∥轴交于N（图4） 由解法三知；同理得 在Rt△MPN中，PQ是斜边上的高