高中余弦定理公式 余弦定理判定定理

   今天我们来学习以下余弦定理的相关知识，余弦定理是高中数学中很重要很常见的知识点，也是考试必考的，是解三角形的关键，所以大家一定要好好掌握余弦定理的相关知识，并学会运用知识去解题。下面小编就给大家介绍一下余弦定理的知识吧!

     余弦定理，即欧氏平面几何学基本定理。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。


   以下是余弦定理的公式：

     余弦定理应用：
     余弦定理是解三角形中的一个重要定理，利用余弦定理，可以解决以下三类问题： 
   （1）当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。
    （2）当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。 
    （3）当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的面积。

     求边
     余弦定理公式可变换为以下形式：


     因此，如果知道了三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。

     求角
     因为余弦函数在【0，π】 上的单调性，可以得到：


     因此，如果已知三角形的三条边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。

     求面积
     由面积公式


     知如果已知三角形的三条边，可以由余弦定理求出一个内角，从而得到三角形的面积。


  余弦定理的判定
     判定定理一 两根判别法
     若记m（c1,c2）为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值。
     ①若m（c1,c2）=2,则有两解；
     ②若m（c1,c2）=1,则有一解；
     ③若m（c1,c2）=0,则有零解（即无解）。
     注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。

     判定定理二 角边判别法
     一、当a>bsinA时：
     ①当b>a且cosA>0（即A为锐角）时，则有两解；
     ②当b>a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时,则有零解（即无解）；
     ③当b=a且cosA>0（即A为锐角）时，则有一解；
     ④当b=a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时,则有零解（即无解）；
     ⑤当b<a时，则有一解。

     二、当a=bsinA时：
     ①当cosA>0（即A为锐角）时,则有一解；
     ②当cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）。
     三、当a<bsinA时,则有零解（即无解）。

     例题：

   已知△ABC的三边之比为5：4：3，求最大的内角。
     解：设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3.
      由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角。
      由余弦定理：
      cosA=0
      所以∠A=90°。